Archief van
Categorie: Hoofdrekenen

Deelbaarheid

Deelbaarheid

Een nadenk deling

Alvast een opzetje:  is 35467 deelbaar door 367?
Op de lagere school leerden we vroeger een staartdeling uit te voeren, ik weet niet of dat nu ook nog geleerd wordt. Deze deling heeft als bedoeling het brein wat op te scherpen, het gaat niet in de eerste plaats om een cijfermatig antwoord, het gaat vooral om de logica.

Algemeen: voor de goede orde 35467 heet deeltal, 367 heet deler. Het antwoord van een deling heet quotiënt. Verder: om de deelbaarheid te bepalen mag je net zo veel maal de deler optellen bij of aftrekken van het deeltal als je wilt, om een meer hanteerbaar of overzichtelijker getal te krijgen

Ik geef enkele ideeën.
XY is een oneven getal, niet eindigend op een 5. Bij het vermenigvuldigen veranderen vooral de laatste cijfers en de cijfers XY krijgen we alleen terug als we XY met (0)1 vermenigvuldigen. We nemen 367 en tellen daarbij 100×367 op en hebben dan 37067. Nu doen we 37067-35467=1600. 35467 is dan en alleen dan deelbaar door 367 als 1600 ook deelbaar door 367 is. Dat is stellig niet het geval, want zowel 4× als 5× 367 hebben niet als eindcijfers 00.

Iets anders geredeneerd: Als de deling een opgaande zou zijn, dus geen rest zou hebben, dan zou het antwoord eindigen op 01, en zoals al berekend: 101 × 367 = 37067, en dat is meer dan de opgave aangeeft. Daarbij: na(0)1 × 367 is 101 × 367 de eerstvolgende mogelijkheid om bij het vermenigvuldigen 67 als laatste cijfers te krijgen.

We trekken af 36700-35467= 1233. 35467 is deelbaar door 367 dan en alleen dan als 1233 dat ook is. .3÷.7=.9. Als 1233 door 367 deelbaar zou zijn moet het quotiënt 9 zijn. 9 × 300 = 2700 en 9 × 367 = 3303, dus 1233 is niet deelbaar door 367 en bijgevolg is 35467 dat ook niet.

Tenslotte is er nog modulo rekenen. 35467 is 7 modulo 9 en 367 is dat ook. Een getal 7 mod 9 gedeeld door een ander getal 7 mod 9 geeft een antwoord 1 mod 9. 01 × 367 = 367, dat is te weinig en 101× 367 = 37067 is niet alleen teveel, het getal is bovendien 5 mod 9.

Conclusie: 35467 is niet deelbaar door 367.

Meer over modulo rekenen vindt u in mijn boek “De Kunst van het Hoofdrekenen”

 

© A.W.A.P. Bouman

Aftrekken

Aftrekken

Aftrekken.

Ook aftrekken is een basale bewerking, maar wel wat lastiger dan optellen. Kinderen leren dit wat moeilijker aan. Bij het hoofdrekenen vinden we aftrekken bij de toernooien, steeds als een groter getal minus een kleiner, eventueel ook in decimalen (M.S.O.). Bij de complexere bewerkingen in het worteltrekken werken we met een combinatie van vermenigvuldigen(zie aldaar) en aftrekken, bij het delen, al of niet met rest eveneens. Aftrekken is geen creatieve bewerking, maar je moet het wel degelijk kunnen. Zonder aftrekken blijft er weinig van het rekenen over. Er wordt wel gedacht over combi-opgaven: optellen met aftrekken gemengd.

Enkele voorbeelden:

901760181 – 762331138, uit MSO. Heel belangrijk is je nooit in de war te laten brengen door grote getallen, maar ze te verdelen in “hapklare brokken”. Kijk eens in groepen van 3 cijfers: 901. 760. 181 en 762. 311. 138. We beginnen achteraan. 181 – 138 = 043. Zo de eerste drie cijfers van het antwoord zijn er al. Dan 760 – 311. 449, is dat echt moeilijk? We hebben nu al 449.043. Blijft nog 901 – 762 = 139, waardoor het eindantwoord is 139.449.038. Controleer deze opgave maar met de 9-proef.

De volgende, ook uit MSO is weerbarstiger, het is een decimale opgave.

133561.051 – 96221.675. Hoe lastig is dat? Mijn voorstel: even in gedachten de decimale cijfers omkeren, dus 675 – 051 = 624, en dan 624 van 1000 aftrekken, 376. Daarna moeten we van de 561 er 1 afhalen, dat wordt 560, en dat verminderen we met 221, antwoord 339. We hebben nu 339,376. Wat blijft is 133 – 96 = 37, het eindantwoord is dan 37.339,376.

Lastiger zijn de opgaven waarin achter de komma een verschillend aantal decimalen staat:
982464,237 – 675324,8649. Hier beslist niet vergeten een denkbeeldige 0 achter de 7 van het eerste getal te zetten, anders gaat het verkeerd. Als je dan 70-49= 21. neemt is het gevaar ondervangen. Daarna 23-86 = 37 en 64-1=63-24= 39. Antwoord zo ver 39 37 21. 24-53= 71, dus nu 71 39 37 21 en door te lenen bij 98, wordt 97 – 67 = 30, het eindantwoord is dan 30 71 39 37 21.

© A.W.A.P. Bouman 2009

integer cubic roots, ending on 5

integer cubic roots, ending on 5

The cubic Fives.

Since the MCWC 2006 I organize at regular times a “Rekenwonder”-weekend. Gert Mttring is always present. In our room there is a huge flap-over on which we write less huge numbers, with which we do all kinds of calculations. There is a very intensive interchange of ideas.

During the October weekend Gert said “It is typical that there are no questions in cubic roots with 5 numbers” “Yes, I understand, there are too many possibilities” “Indeed, but would it be too difficult to find something?”.

Gert introduced to notions which I will use furthermore: The “question number” the number to find the root of, abbreviated as QN, and the “answer number”, by consequence AN .

We agreed to think about and you’ll find the result of our thinking here under. As a pensioned man I have the luxury of much leasure time, so I had the time for thinking.

So the first thing to do was making a table, which is to be found in the Excel file, the addition. There I found a typical “jump”, the difference between 2 succeeding numbers. This table is crucial. I marked the jumps in red.

Ralf Laue was so kind to mail me 150 questions with “cubic fives”, so that I could test the working method thoroughly.

After having made some examples Gert gave the necessary finishing touch and very important directions. He too filtered out that in some circumstances there is a difference of 50.000 in the answer found. This is due to the 10.000 in the AN.

When we make a survey about thee table we can simplify the jump numbers by dividing by 125, Then we get resp. 460, 140, 300, 140 and 460 × 125.

Important is that when calculating modulo 33 there is no common divisor with one of the jumps so that there can not be confusions. As general working method we advise in a cubic root to find the first digits and the last ones and finally the middle ones.

The jumps of 37.500 mean that after 8 times you get the same result in the middle digits: 0 or 8 and 1 or 9. These differences can be filtered out either with estimation or more exactly be calculated with the 3a^2 method.

As the proof of the pudding is in the eating some “Laue numbers”. These numbers are generated by Ralf Laue, for testing my method of working.

Q(uestion) N(umber): cubic root of 22260|3687|6344|7625.

A(nswer) N(umber): first digits 28. See table: last digits evidently 05 and an odd number of 100, see table.
Middle digits AN: 22260-21952=308/28^2×3= 308/2352=± 0,13.

With modulo 33. So first make for yourself a table modulo 33 exponent 3. So 2^3=8(33), 13^3= 19(33) etc. For me this was very simple as I work since my 10th year with the 11 test. 33 is even better, it has no doubles and 99 has many doubles.
QN: from right to left the groups of 4 digits are respectively 2, 8, 24 and 18, overall 19(33). So the AN is necessarily 13(33). As AN 28 + 05 = 0(33) so the hundreds have to be 13(33) and be odd. Choices: 13, 46 and 79. As the even numbers drop out, the middle digits are either 13 or 79. As 22260 is close to 21952 and see the check of 308/2352 the AN will be 28.13.05.

QN cubic root of 39|1315|6471|5773|7875.
AN: first digits 73. Last digits 35, even hundreds necessarily 2(4), see table. Hundreds: 391315-389017=2298/73^2×3, rounded 16000 = 14, AN 73 14 35
Modulo 33: 21+31+3+28+6= 23(33). AN = 23(33). 73+35= 9. Middle digits have to be 23-9=14(33).
So AN = 73 14 35.

Finally: QN cubic root of 74|3738|9803|9876|5625.
AN : first digits 90, last digits 25. Hundreds estimated 743738-729000=14738/3×90^2= ± 0,605, 0(4) and even.
(33) = 15+9+2+9+8=10. So AN = 10(33). 90+25=16(33), so answer has to be 16 + X = 10(33), so X=27. The possibilities are by consequence: 27, 60 and 93. Middle digits have to be 60, being 27(33) and 0(4).

So the final answer is 90 60 25.

Remarks, additions or questions are welcome.

Success!!

Gert Mittring and Willem Bouman.