Archief van
Categorie: alle categorieën

Deelbaarheid

Deelbaarheid

Een nadenk deling

Alvast een opzetje:  is 35467 deelbaar door 367?
Op de lagere school leerden we vroeger een staartdeling uit te voeren, ik weet niet of dat nu ook nog geleerd wordt. Deze deling heeft als bedoeling het brein wat op te scherpen, het gaat niet in de eerste plaats om een cijfermatig antwoord, het gaat vooral om de logica.

Algemeen: voor de goede orde 35467 heet deeltal, 367 heet deler. Het antwoord van een deling heet quotiënt. Verder: om de deelbaarheid te bepalen mag je net zo veel maal de deler optellen bij of aftrekken van het deeltal als je wilt, om een meer hanteerbaar of overzichtelijker getal te krijgen

Ik geef enkele ideeën.
XY is een oneven getal, niet eindigend op een 5. Bij het vermenigvuldigen veranderen vooral de laatste cijfers en de cijfers XY krijgen we alleen terug als we XY met (0)1 vermenigvuldigen. We nemen 367 en tellen daarbij 100×367 op en hebben dan 37067. Nu doen we 37067-35467=1600. 35467 is dan en alleen dan deelbaar door 367 als 1600 ook deelbaar door 367 is. Dat is stellig niet het geval, want zowel 4× als 5× 367 hebben niet als eindcijfers 00.

Iets anders geredeneerd: Als de deling een opgaande zou zijn, dus geen rest zou hebben, dan zou het antwoord eindigen op 01, en zoals al berekend: 101 × 367 = 37067, en dat is meer dan de opgave aangeeft. Daarbij: na(0)1 × 367 is 101 × 367 de eerstvolgende mogelijkheid om bij het vermenigvuldigen 67 als laatste cijfers te krijgen.

We trekken af 36700-35467= 1233. 35467 is deelbaar door 367 dan en alleen dan als 1233 dat ook is. .3÷.7=.9. Als 1233 door 367 deelbaar zou zijn moet het quotiënt 9 zijn. 9 × 300 = 2700 en 9 × 367 = 3303, dus 1233 is niet deelbaar door 367 en bijgevolg is 35467 dat ook niet.

Tenslotte is er nog modulo rekenen. 35467 is 7 modulo 9 en 367 is dat ook. Een getal 7 mod 9 gedeeld door een ander getal 7 mod 9 geeft een antwoord 1 mod 9. 01 × 367 = 367, dat is te weinig en 101× 367 = 37067 is niet alleen teveel, het getal is bovendien 5 mod 9.

Conclusie: 35467 is niet deelbaar door 367.

Meer over modulo rekenen vindt u in mijn boek “De Kunst van het Hoofdrekenen”

 

© A.W.A.P. Bouman

Aftrekken

Aftrekken

Aftrekken.

Ook aftrekken is een basale bewerking, maar wel wat lastiger dan optellen. Kinderen leren dit wat moeilijker aan. Bij het hoofdrekenen vinden we aftrekken bij de toernooien, steeds als een groter getal minus een kleiner, eventueel ook in decimalen (M.S.O.). Bij de complexere bewerkingen in het worteltrekken werken we met een combinatie van vermenigvuldigen(zie aldaar) en aftrekken, bij het delen, al of niet met rest eveneens. Aftrekken is geen creatieve bewerking, maar je moet het wel degelijk kunnen. Zonder aftrekken blijft er weinig van het rekenen over. Er wordt wel gedacht over combi-opgaven: optellen met aftrekken gemengd.

Enkele voorbeelden:

901760181 – 762331138, uit MSO. Heel belangrijk is je nooit in de war te laten brengen door grote getallen, maar ze te verdelen in “hapklare brokken”. Kijk eens in groepen van 3 cijfers: 901. 760. 181 en 762. 311. 138. We beginnen achteraan. 181 – 138 = 043. Zo de eerste drie cijfers van het antwoord zijn er al. Dan 760 – 311. 449, is dat echt moeilijk? We hebben nu al 449.043. Blijft nog 901 – 762 = 139, waardoor het eindantwoord is 139.449.038. Controleer deze opgave maar met de 9-proef.

De volgende, ook uit MSO is weerbarstiger, het is een decimale opgave.

133561.051 – 96221.675. Hoe lastig is dat? Mijn voorstel: even in gedachten de decimale cijfers omkeren, dus 675 – 051 = 624, en dan 624 van 1000 aftrekken, 376. Daarna moeten we van de 561 er 1 afhalen, dat wordt 560, en dat verminderen we met 221, antwoord 339. We hebben nu 339,376. Wat blijft is 133 – 96 = 37, het eindantwoord is dan 37.339,376.

Lastiger zijn de opgaven waarin achter de komma een verschillend aantal decimalen staat:
982464,237 – 675324,8649. Hier beslist niet vergeten een denkbeeldige 0 achter de 7 van het eerste getal te zetten, anders gaat het verkeerd. Als je dan 70-49= 21. neemt is het gevaar ondervangen. Daarna 23-86 = 37 en 64-1=63-24= 39. Antwoord zo ver 39 37 21. 24-53= 71, dus nu 71 39 37 21 en door te lenen bij 98, wordt 97 – 67 = 30, het eindantwoord is dan 30 71 39 37 21.

© A.W.A.P. Bouman 2009

Mental Calculation CV

Mental Calculation CV

Calculation CV A.W.A.P. Bouman

Birth date 19-09-1939. As a child of 2 years I knew the alphabet, being 3 years I could read the clock. At school 4 th class I knew all the 2×2 multiplications, they flew into my memory. At secondary school 1953 we learnt square roots. There the idea of sorting squares on same end figures: the squares of 7, 43, 57 and 93 all end on 49. Besides : 7+93=100, 43+57=100 43+50=93 and 7+70=57. After that the idea of sorting on 3 end figures struck me. 7,243,257, 493,507, 743,757 and 993, all their squares end on 049. After that all the squares till 1.000 were saved in my memory. This enabled me to do sqrts of numbers of 10 digits. About a year later I found a method for cubic roots, of numbers of 15 digits. In 1957 I got my school certificate, not on the mathematic department but on the commercial department. My mathematics are very weak. I am no mathematician, I am an arithmetician. It is a regrettable mistake that very good calculators automatically are very good mathematicians. Concerning me: even in the contrary.

During my working period calculation was a useful accessory, unfortunately I could not find other ones who did the same thing. One – very important – exception was my meeting with the famous Wim Klein in December 1959. There was something very amusing: in his opinion cubic roots by MC was impossible. After my demonstration and explanation he immediately understood my method.

I did nothing with my MC – why should I having no colleges and Klein lived in Switzerland. When I wanted to renew the contact in 1986 he was murdered shortly before.

The squares sport has never left me, so factorisation is my speciality. In Gießen at the MCWC in 2006 I was the only one with the full 100 points score on the prime numbers. In the MSO in England there are always ± 8 numbers of which to find the prime factors.

So for me in personal point of view factorisation is very interesting it gives me insight in the number world, I steadily train the squares.

During my professional life Mental Calculation was a useful accessory to me: for selling truck tyres one needs to know the axle load, the calculation of which was very simple to me. Thorough MC training did not happen.

In 1995 I retired.

In 2006 I met Gert Mittring, who advised me to go on with MC, “you have no idea how good you are”.
He stimulated me to participate in tournaments.
From that moment I started training intensively and made very good progress. MSO 2006, fully unprepaired a 7th ranking, 2007 5th ranking, 2008 4th ranking, 2009 3rd ranking.

My talent is especially creativeness, I have had many big compliments about the algorithms I found myself: to do cubic roots of 18 and 21 digits, “the cubic fives”, cubic roots of numbers ending on a five, structure in power calculation, my work with the Chinese remainder theorem, etc etc.

At regular times I organise a “mental calculation prodigee” weekend in my house. My guest are – of course – Gert Mittring, Jan van Koningsveld, Andy Robertshaw. Some others should like to come, the distance is the problem: Robert Fountain, George Lane.

After having obtained a third ranking in the World Championship MC 2009 – the toughest ever – in London Gert said “I am very proud of you”. This ranking was obtained after a year of intensive training.

© A.W.A.P. Bouman 2009

World record factorisation five digit numbers

World record factorisation five digit numbers

World Record Factorisation

What began as a kind of amusement – factorisation of 3 and 4 digit numbers when I was the guest of Javier Mañana in April 2010, grew out to a serious attempt to obtain a World record in factorisation of five digit numbers.

As a boy of 15 years old I started with “playing with squares”. I was confident with them, had discovered the structure in them and a mathematician told me that a given number is divisible if it can be written as twice the sum of two different squares. Simplest example: 65 = 7²+4² and 8² + 1².

A number which is only once the sum of two different squares is a prime number. The factors of 65 are 5= 2²+1² and 13= 3²+2².

Knowing this I considered it as a challenge to find if a given numbers was really twice the sum of two different squares. In the article “sums of squares” you can read more about this very interesting theme.

This kind of “sport” made me more and more confident with the prime numbers. It is not very simple to find combinations. I worked for Michelin, the phone number was 020-429833. Could this number be written as twice the sum of two different squares? After intensive research I found: 587² + 292² and 643² + 128².

In fact, when I saw eg a phone number on a truck, I tried to break it down in twice the sum of two different squares or otherwise to factorise or do something else with the number. And I still do!

In November 2006 during the Mental Calculation World Cup in Gießen ( Germany) I was the only participant with the full 100 points in the task of the prime numbers.
It was Robert Fountain who granted me then the epitheton ornans “William Flash, King of the Primes”.

In fact the prime numbers are never out of my thoughts. After I had contacted Ralf Laue, the webmaster of the reordholders and organiser of Mental Calculation Tournaments, he rejected a World record attempt for 3 or 4 digit numbers, as there was the possibility of learning by heart which would make the Worldrecord worthless.

So it should be a worldrecord attempt for factorisation of five digit numbers. With Gert Mittring I made an analysis.

From 10.000 till 100.000 are 90.000 numbers. Fifty procent of them are even numbers, so 45.000. And 45.000 are odd numbers. Amongst them there are 8.372 prime numbers, remaining are 36.628 odd numbers for factorisation + 45.000 even numbers: 81.628 numbers to be factorised, of which 55,13% even numbers and 44,87 % odd numbers. .

It is a mistake to suppose that even numbers are easier to factorise than odd numbers. Generally said: the big problem is to find the first significant factor. EG 82006: the 2 is quickly to be found, but then…… After that it is very well to do, assumed there is a profound knowledge of the multiplication tables.

On this moment I do not have one straight ahead method, as eg the cross method is for multiplication. If this will ever come is the question.

As far as I can see is factorisation a very challenging activity.

The realisation

On December 22 2010 in the Technical University in Delft under supervision of Dr./Ir. M.D. Verweij several attempt were undertaken for the creation of a World Record Factorisation of five digit numbers. Timekeepers were Mr. J. Bosman and Mr. F. Rijven. The fifth attempt was faultless, after 23 minutes and 39 seconds. During the trainings sometimes I had measured less than 8 minutes. So I was happy to have a World Record but not content of myself.

My World Record was officially recognised on 6 January 2011 by Mr. Ralf Laue, administrator of the alternative World records. .

Willem Bouman

wereldrecord factoriseren

wereldrecord factoriseren

Wereldrecord factoriseren

Wat begon als een vorm van vermaak – het factoriseren van getallen van drie en vier cijfers – toen ik in april 2010 te gast was bij Javier Mañana in Gijon – groeide uit tot een serieuze poging tot het verwerven van een wereldrecord in het factoriseren van getallen van vijf cijfers.

Als jongen van 15 jaar begon ik met “kwadraten te spelen”. Eerder had ik er al een duidelijke structuur in gevonden. Iets later vertelde een wiskundige mij dat een getal deelbaar is als het tot twee keer toe de som is van twee verschillende kwadraten. Het eenvoudigste voorbeeld is het getal 65. Dit is de som van 7² + 4² en 8² + 1².

De factoren van 65 zijn 5 = 2²+1² en 13 = 3² + 2²..  Als een getal maar één keer de som van twee verschillende kwadraten is, is het getal priem

Met deze kennis in het achterhoofd werd het een echte uitdaging te vinden of een gegeven getal geschreven kon worden als twee maal de som van twee verschillende kwadraten. Het telefoonnummer van Michelin – mijn werkgever – was 020- 429833. Na veel gezoek vond ik de begeerde samenstell9ingen: 429833 = 587² + 292² en 643² + 128². Dus het getal is deelbaar en de beide factoren zijn ieder de som van twee verschillende kwadraten. Deze vinden we als volgt: We tellen de beide even getallen bij elkaar op, delen de som door 2 en delen het verschil door 2. We krijgen dan: 292 + 128 = 420 ÷ 2 = 210 en 292 – 128 = 164 ÷ 2 = 82. Met de oneven getallen wordt het 643 + 587 = 1230 ÷ 2 = 615 en 643 – 587 = 56 ÷ 2 = 28. Nu bepalen we de gemeenschappelijke factor van 615 en 210, dat is 15 en het gaat respectievelijk 41 × en 14×. Vervolgens zoeken we de gemeenschappelijke factor van 82 en 28. Dit is 2 en het gaat respectievelijk ook 41 × en 14×. Tenslotte  nemen we 41+ 142 = 1877 en 152  + 22 = 229 en hebben hiermee de factoren gevonden van 429833.

Als ik een telefoonnummer op een truck zie staan probeer ik steeds of het nummer is te schrijven als twee maal de som van twee verschillende kwadraten of er iets anders mee te doen.

In november 2006 was ik bij het Mental Calculation World Cup toernooide enige die de volle 100% scoorde bij de opgave over priemgetallen. Het was Robert Fountain die me het fraaie epitheton ornans “William Flash, King of the Primes”- “Willem Flits, Koning van de Priemgetallen” bezorgde.

In feite zijn de priemgetallen nooit uit mijn gedachten. Ik zocht contact met de heer Ralf Laue, webmaster van de website recordholders en organisator van toernooien hoofdrekenen. Een wereldrecord factoriseren bestond nog niet, een nieuwe categorie was zeer welkom. Echter factoriseren van getallen van drie en vier cijfers wees hij af, omdat hier de mogelijkheid zou zijn getallen uit het hoofd te leren waardoor het record zijn waarde zou verliezen.

Het moest dus een recordpoging tot het factoriseren van getallen van vijf cijfers worden. Ik maakte een analyse.

Van 10.000 tot 100.000 zijn 90.000 getallen. Daarvan zijn er 45.000 even en 45.000 oneven. Van de oneven getallen zijn er 8.372 priem, blijven 36.628 bewerkbare getallen. Vermeerderd met 45.000 zijn er dus 81.628 ‘bewerkbare “ getallen. 45.000 even betekent 55,13%, oneven getallen dan 44,87%.

Overigens is het een misverstand te menen dat een even getal makkelijker is te factoriseren dan een oneven getal. Het belangrijkst is het vinden van de eerste significante factor. Bijv. 82006. De 2 is snel gevonden, maar dan…….We hebben dan 41003. Wat daarmee aan te vangen kunt u lezen in mijn boek “De Kunst van het “Hoofdrekenen”.

Het oplossen van dit type vraagstukken vergt een uitstekende kennis van de kwadraten in combinatie met veel ervaring in het modulo rekenen.

De uitvoering.

Op 22 december 2010 werd in de TU in Delft onder supervisie van Dr.Ir. M.D. Verweij een aantal pogingen ondernomen tot het vestigen van een wereldrecord factoriseren ven een reeks van twintig getallen van vijf cijfers. Tijdwaarnemers waren de heren J. Bosman en F. Rijven. Pas de vijfde poging was foutloos en daarvoor had ik nodig 13 minuten en 39 seconden. Naar mijn zin veel te lang, thuis had ik ook wel eens minder dan acht minuten geklokt.

Mijn wereldrecord werd op 6 januari 2011 officieel erkend door de heer Prof. Dr. Ralf Laue, hoogleraar aan de universiteit van Zwickau en beheerder van de alternatieve records..

Willem Bouman

MCWC Leipzig

MCWC Leipzig

Von Zahlen besessen

© Maximillian Grosser
Willem Bouman erklärt seine Rechenmethoden

Von Maximillian Grosser, Leipzig

In Leipzig trafen sich die besten Kopfrechner zur Weltmeisterschaft. Sie multiplizierten achtstellige Zahlen und zogen die Wurzel aus sechsstelligen in Sekunden. Zwei Wissenschaftler untersuchten, ob die Mathe-Spezialisten nur besonders schnell sind – oder ob sich ihr Rechnen von dem anderer unterscheidet.

Der Niederländer Willem Bouman ist 68 und sein Gehirn fitter als bei vielen jüngeren Menschen. Problemlos kann er die dritte Wurzel aus einer 18-stelligen Zahl ziehen – ganz ohne Taschenrechner. Seine Faszination für Zahlen wurde schon sehr früh geweckt. Im Alter von drei Jahren konnte er die Uhr lesen, mit acht sprang ihm das Ergebnis einer Multiplikation von zweistelligen Zahlen sofort in den Kopf. “In der dritten Klasse der Primarschule kannte ich alle Multiplikationen von zweistelligen Zahlen.” Seitdem hat ihn die Arithmetik nicht mehr losgelassen.

Wenn er heute mit seiner Frau auf Radtouren unterwegs ist, achtet er wenig auf die Natur, die ihn umgibt, sondern zieht lieber die Wurzel aus Telefonnummern, die er auf LKW-Planen entdeckt. Und bei Nummernschildern kommen ihm sofort Faktoren, Wurzeln und Primzahlen in den Kopf. Das schnelle Rechnen des Niederländers hat vor allem ein Fundament: Er kennt alle Quadrate bis tausend und die dritten Potenzen der Zahlen bis hundert. Hinzu kommen Algorithmen, die er teilweise selbst entdeckt hat. Sein logisches Wissen ist enorm, so dass es ihm beim Rechnen vorrangig nicht auf die Geschwindigkeit, sondern auf die Eleganz und die Genauigkeit der Lösung ankommt. Für Bouman ist das Zerlegen von Zahlen ein ähnlicher Automatismus, wie bei Musikern, die aus einem Lied einzelne Töne und Tonleitern heraushören.
Einfach nur schneller?
Solche Leistungen interessieren die beiden Wissenschaftler Frank Dohmas und Kerstin Jost von der Universität Marburg. Auf der Kopfrechnen-WM in Leipzig haben sie das erste Mal Experten getroffen, die schneller als Taschenrechner Ergebnisse liefern. In ihrer Studie wollen sie herausfinden, wie sich das mathematische Denken der Hochleistungskopfrechner von dem anderer Menschen unterscheidet. “Rechnen die Experten genauso, nur schneller oder sind da andere Qualitäten vorhanden”, fragt sich Frank Dohmas, wissenschaftlicher Mitarbeiter für klinische Linguistik. Deswegen schauen Dohmas und Jost im ersten Teil des Experiments nach Gemeinsamkeiten: Zeigen die Kopfrechner die gleichen Probleme beim Addieren oder Multiplizieren größerer einstelliger Zahlen wie “normale” Menschen? Haben sie ähnliche Schwierigkeiten beim Wechsel zwischen den Rechenoperationen? Oder lösen sie alle Aufgaben gleich schnell, ohne Verzögerung?
Kopfrechner sind Individualisten
“Es ist ein Mythos, dass das Gedächtnis wichtig ist”, meint der Kernphysiker Robert Fountain aus Großbritannien. Er hat die Kopfrechnen-WM in Leipzig schon zweimal gewonnen. Fountain ist wie Willem Bouman ein Generalist im Rechnen. Er versucht in allen Kategorien gut zu sein. Seine Faszination gilt den mathematischen Theorien, die er vor allem durch sein Studium kennt und gern kreativ gebraucht. Der Brite hat zwar auch wie die anderen Kopfrechner in Leipzig ein großes Zahlenwissen. Aber sein schnelles Rechnen hat einen anderen Hintergrund. “Mein Gedächtnis ist schlecht, deswegen muss ich schnell rechnen, um nichts zu vergessen.” Mit elf Jahren hat er im Fernsehen einen Kopfrechner gesehen und damals beschlossen, genauso gut rechnen zu können. Seitdem hat er die meiste Zeit seines Lebens dazu genutzt, diese Fähigkeit zu perfektionieren. “Es funktioniert wie Schach oder Golfspielen. Man muss nur ein Talent für das Üben haben”, meint der Kernphysiker.

© Sebastian Willnow/DDP
Der elfjährige Vinay Bharadwaj war der jüngste Teilnehmer der Kopfrechnen-WM .

Ein Erfolgsrezept für dieses Können gibt es nicht. “Man muss von Zahlen besessen sein, um das Training durchhalten zu können”, sagt der Linguist Frank Dohmas. Trotzdem sind die Strategien sehr individuell, wie es Kerstin Jost gesehen hat. “Die einen haben eine Vorliebe für visuelle Strategien, andere sind eher auditiv geprägt, wie man es bei den Lippenbewegungen der Rechner bei der Weltmeisterschaft sehen konnte.”

Vinay Bharadwaj aus Indien, der jüngste WM-Teilnehmer, nutzt vor allem die Finger zum Rechnen. Der Elfjährige scheint im Kopf die Kugeln eines Abakus hin und her zu schieben, um mehrere zehnstellige Zahlen zu addieren. Robert Fountain und Willem Bouman sind eher auditiv geprägt. Sitzt man neben dem Niederländer beim Rechnen, sind die Zwischenergebnisse in seiner Muttersprache zu hören.

Einige greifen auf ein größeres Faktenwissen zurück, andere nutzen eher Algorithmen und wieder andere sind schneller im Rechnen. Wie dieses Verhältnis bei den einzelnen Experten ausgeprägt ist, testen Frank Domahs und die Psychologin Jost im zweiten Teil ihres Experiments, bei dem die Probanden ihre Strategien zu den Berechnungen angeben müssen.
Alte Schule
Für den Kernphysiker Robert Fountain ist Willem Bouman ein Held der alten Schule. Denn der Niederländer stammt aus einer Ära, als Kopfrechner mit ihrer Fähigkeit noch professionell Geld verdient haben und diese Experten damals Computer genannt wurden. Aber Bouman ist trotz seines Talents Automechaniker und später Reifenexperte bei Michelin geworden. “Ich bin glücklich darüber. Denn ab 1970 wurden die Kopfrechner nicht mehr gebraucht”, erzählt Bouman. Damals übernahmen richtige Computer das Rechnen. Trotzdem konnte er sein mathematisches Wissen zum Beispiel zur Berechnung von Achslasten nutzen. Doch erst 2006 begann der Rentner seine Fähigkeiten wieder zu trainieren und nahm erstmals an Wettkämpfen teil. In Leipzig zeigte er, dass er es mit den jüngeren WM-Teilnehmern durchaus aufnehmen kann. Aus einer sechzehnstelligen Zahl berechnete der “König der Primzahlen” vier vierstellige Primfaktoren in wenigen Minuten.

Kopfrechnen-WM
Die Weltmeisterschaft im Kopfrechnen fand am 1.Juli mit 28 Teilnehmern aus 12 Ländern in Leipzig statt. Gewonnen hat der Spanier Alberto Coto, den zweiten Platz belegte der Deutsche Jan von Koningsveld, Dritter wurde Jorge Arturo Mendoza Huertas aus Peru.

Robert Fountain nutzt seine Rechenkunst manchmal noch, um Ergebnisse, die ihm der Computer berechnet, zu überprüfen. “Das komplexe Kopfrechnen ist heute wie Joggen: Es ist nicht notwendig”, resümiert der Brite. Trotzdem wünscht er sich, dass wieder ein größeres Interesse für Mathematik und Kopfrechnen geweckt wird. Entweder durch kreative Rechenmethoden oder derartige Wettkämpfe im Unterricht. Ähnlich sieht es Willem Bouman. Für ihn ist das Rechnen so wichtig wie das Lesen. “Denn sie haben jeden Tag etwas zu berechnen.”

© A.W.A.P. Bouman 2009

integer cubic roots, ending on 5

integer cubic roots, ending on 5

The cubic Fives.

Since the MCWC 2006 I organize at regular times a “Rekenwonder”-weekend. Gert Mttring is always present. In our room there is a huge flap-over on which we write less huge numbers, with which we do all kinds of calculations. There is a very intensive interchange of ideas.

During the October weekend Gert said “It is typical that there are no questions in cubic roots with 5 numbers” “Yes, I understand, there are too many possibilities” “Indeed, but would it be too difficult to find something?”.

Gert introduced to notions which I will use furthermore: The “question number” the number to find the root of, abbreviated as QN, and the “answer number”, by consequence AN .

We agreed to think about and you’ll find the result of our thinking here under. As a pensioned man I have the luxury of much leasure time, so I had the time for thinking.

So the first thing to do was making a table, which is to be found in the Excel file, the addition. There I found a typical “jump”, the difference between 2 succeeding numbers. This table is crucial. I marked the jumps in red.

Ralf Laue was so kind to mail me 150 questions with “cubic fives”, so that I could test the working method thoroughly.

After having made some examples Gert gave the necessary finishing touch and very important directions. He too filtered out that in some circumstances there is a difference of 50.000 in the answer found. This is due to the 10.000 in the AN.

When we make a survey about thee table we can simplify the jump numbers by dividing by 125, Then we get resp. 460, 140, 300, 140 and 460 × 125.

Important is that when calculating modulo 33 there is no common divisor with one of the jumps so that there can not be confusions. As general working method we advise in a cubic root to find the first digits and the last ones and finally the middle ones.

The jumps of 37.500 mean that after 8 times you get the same result in the middle digits: 0 or 8 and 1 or 9. These differences can be filtered out either with estimation or more exactly be calculated with the 3a^2 method.

As the proof of the pudding is in the eating some “Laue numbers”. These numbers are generated by Ralf Laue, for testing my method of working.

Q(uestion) N(umber): cubic root of 22260|3687|6344|7625.

A(nswer) N(umber): first digits 28. See table: last digits evidently 05 and an odd number of 100, see table.
Middle digits AN: 22260-21952=308/28^2×3= 308/2352=± 0,13.

With modulo 33. So first make for yourself a table modulo 33 exponent 3. So 2^3=8(33), 13^3= 19(33) etc. For me this was very simple as I work since my 10th year with the 11 test. 33 is even better, it has no doubles and 99 has many doubles.
QN: from right to left the groups of 4 digits are respectively 2, 8, 24 and 18, overall 19(33). So the AN is necessarily 13(33). As AN 28 + 05 = 0(33) so the hundreds have to be 13(33) and be odd. Choices: 13, 46 and 79. As the even numbers drop out, the middle digits are either 13 or 79. As 22260 is close to 21952 and see the check of 308/2352 the AN will be 28.13.05.

QN cubic root of 39|1315|6471|5773|7875.
AN: first digits 73. Last digits 35, even hundreds necessarily 2(4), see table. Hundreds: 391315-389017=2298/73^2×3, rounded 16000 = 14, AN 73 14 35
Modulo 33: 21+31+3+28+6= 23(33). AN = 23(33). 73+35= 9. Middle digits have to be 23-9=14(33).
So AN = 73 14 35.

Finally: QN cubic root of 74|3738|9803|9876|5625.
AN : first digits 90, last digits 25. Hundreds estimated 743738-729000=14738/3×90^2= ± 0,605, 0(4) and even.
(33) = 15+9+2+9+8=10. So AN = 10(33). 90+25=16(33), so answer has to be 16 + X = 10(33), so X=27. The possibilities are by consequence: 27, 60 and 93. Middle digits have to be 60, being 27(33) and 0(4).

So the final answer is 90 60 25.

Remarks, additions or questions are welcome.

Success!!

Gert Mittring and Willem Bouman.

Inleiding

Inleiding

Hoofdrekenen is leuk! heet mijn website. Dat moet natuurlijk wel even uitgelegd worden. Hoe kan iemand nu rekenen leuk vinden? Is er aan zo iemand een steekje los, of wellicht meerdere?

“Dat is abnormaal, wat jij/u kunt”. Bedoeld wordt natuurlijk dat wat ik  kan geenszins gebruikelijk is, een gedachte waarmee ik inmiddels vertrouwd ben.  Er zijn er die schatten dat de kans op het talent als het mijne ongeveer 1  op 10 miljoen is. Of dit klopt weet ik niet. Tot op heden heb ik nog geen landgenoot ontmoet die op gelijk niveau rekent.   

Maar is het niet even abnormaal dat het overgrote deel van met name de jongere mensen de eenvoudigste rekenopgaven niet uit het hoofd kunnen oplossen?

Op de lagere school werd ons de voorgeschreven volgorde van bewerkingen bijgebracht: Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen, Aftrekken. M.V.D.W.O.A. , makkelijk te onthouden door de zin “Mijnheer Van Dalen Wacht Op Antwoord”. Het lijkt niet meer te worden bijgebracht.

Wie even rondkijkt kan dagelijks onthutsende voorbeelden meemaken van zeer slecht rekenwerk, dat of niet wordt uitgevoerd of men zoekt paniekerig een zakjapannertje op, dat het antwoord moet leveren. Is dat nu zo erg? Ja, dat is heel erg want een zakjapannertje levert wel een antwoord, en zelfs het goede antwoord als de vraag goed is ingegeven, maar de machine levert geen inzicht!

En wat zegt de dame van ons pensioenfonds? “Wie niet kan rekenen heeft ook niets aan een rekenprogramma als Excel”. Wie de formule niet kan ingeven, niet weet wat er tussen haken en accolades moet staan, zal vergeefs op een goed antwoord wachten.

In lesgeven heb ik altijd aardigheid gehad, na bijna twintig jaar verkopen van vrachtautobanden bij Michelin heb ik er tien jaar les over gegeven. Ook over het hoofdrekenen wil ik graag vertellen, liever dan met sensatiewerk mensen ondersneeuwen. De reacties op zo’n uitleg aan een individu zijn niet erg bemoedigend. Men geneert zich voor het slechte rekenen, vindt dat men het eigenlijk toch wel moet kunnen, maar ja, maar ja. Een heel mooie uitwijkmanoeuvre is discalculi voorwenden. Afgemeten aan de reacties heeft 99,82% van de Nederlandse bevolking discalculi. Dat is natuurlijk niet waar, dat is gewoon een smoes.
Geen psycholoog of anderszins zielkundige zijnde, vraag ik me af waarom de weerzin tegen rekenen zo groot is. Ik weet ook niet of hiernaar onderzoek is gedaan.

Op deze site beperk ik mij tot het “pure” rekenen.

Typen rekenwonders

De vraag wanneer iemand rekenwonder is en wanneer niet laat zich nauwelijks beantwoorden, de definitie van rekenwonder ligt niet scherp vast. Op TV heet je al rekenwonder als je 4 en 3 uit het hoofd kunt optellen, een echt rekenwonder kan aanmerkelijk meer.

Ik waag een omschrijving: rekenwonder is die persoon die uit het hoofd een zeer breed scala aan opgaven kan oplossen in een bovengemiddeld tempo, die een uitstekend inzicht heeft in de structuren van getallen en die zelf algoritmen weet uit te denken.

Prof. Dr. Craig Aitken, een groot wiskundige en een even groot rekenaar, die leefde van 1895 – 1967 omschrijft het grote rekentalent als volgt:

  • gevoel voor getallen door aangeboren talent
  • aangescherpt door volhardende training
  • geven inzicht in de diepere stellingen van algebra en analyse

“Onder ons” onderscheiden we:

1.De “geheugenacrobaat”.

Dit zijn degenen die over een onvoorstelbaar geheugen beschikken, en alles uit het hoofd leren. In minder dan geen tijd geven ze antwoord op de vraag: √78 = en dan krijgt u zonder haperen het antwoord in 8 decimalen. Zeer knap, stellig, maar het is geen rekenen. De leek ziet dit niet, die ziet alleen het razendsnelle antwoord. Mme Dr.Ida Fleiß schrijft hierover het volgende. “Helaas worden in het openbaar ten onrechte mensen als rekengenie aangeduid die reeksen van getallen van verschillende typen opgaven gewoon uit het hoofd leren en dagelijks meerdere uren trainen, om deze op afroep te kunnen reproduceren. Zulke prestaties verdienen stellig erkenning, maar met genialiteit in het rekenen of hoge rekenvaardigheden heeft het niets te maken. Zulke personen verdienen in geen geval de benaming ”rekengenie” of “rekenwonder”. Eerder zijn het geheugenacrobaten die zich op getallen specialiseren. Zulke geheugentrainingen zijn aan te leren. Wiskundige hoog-begaafdheid is niet te trainen, die is aangeboren”. Een “type 1” rekenaar zal geen algoritmes ontwikkelen en weet vaak op vragen buiten het uit het hoofd geleerde geen antwoord.

2.De technisch perfecte rekenaar.

De wandelende rekenmachine. Is veelzijdig, en technisch zeer sterk. Ook wordt wel de vergelijking gemaakt pianist/ componist. Type 2 is dus de “pianist”.

3.De creatieve rekenaar, de “componist”.

Deze is creatief in het bedenken van algoritmen, nieuwe typen opgaven, maar is technisch minder sterk. Kenners hebben mij als type 3 aangeduid.

4.Onderzoek.

De laatste week van juni 2008 werd in Leipzig een wetenschapstentoonstelling gehouden, samen met het wereldkampioenschap hoofdrekenen Mental Calculation World Cup. Ik geef een beschrijving van twee onderzoeken.

Er werden twee elektroden op mijn voorhoofd geplaatst en vervolgens kreeg ik – voor mij althans – zeer eenvoudige opgaven op te lossen. Op een scherm werd hersenactiviteit weergegeven in de vorm van een groene lijn. Bij mij kwam de lijn niet van zijn plaats, die bleef helemaal onder in het scherm hangen, ook toen men niet geprogrammeerde opgaven ging bedenken.

Het tweede onderzoek was een test aan de universiteit van Leipzig: er werden opgaven getoond en we moesten zeggen of het antwoord goed of verkeerd was. Goed was links klikken, verkeerd rechts. Ook maakten we optellingen en vermenigvuldigingen, de tijden werden opgemeten. Ik bleek de snelste te zijn met de vermenigvuldigingen van twee cijfers. Er zijn enkele zeer voorlopige conclusies getrokken. Men zoekt een controlegroep die dezelfde opgaven zal maken en daarna gaat men de resultaten vergelijken.

Van Rüdiger Gamm weet ik dat een hersenscan aan het licht heeft gebracht dat bij hem twee hersenhelften “doorverbonden” zijn, waardoor hij over een onvoorstelbare geheugencapaciteit beschikt. Dit is bijzonder handig bij het maken van grote vermenigvuldigingen. Denkt u aan het vermenigvuldigen van twee getallen van acht cijfers.

Prof. Dr. E. Scherder, neuropsycholoog wijst op de plaatsen in ons brein waar de rekenactiviteit plaatsvindt, toch blijft de vraag of het precieze proces van welke hersenactiviteit dan ook ooit precies kan worden vastgelegd.

Wel prijst Prof. Scherder elke hersenactiviteit, dus ook rekenen als heilzame bezigheid warm aan.

 

© A.W.A.P. Bouman