Rekenen is leuk!

Rekenen is leuk!

Vermenigvuldigen.

Moeilijk is het meest voorkomende woord dat valt bij deze bewerking, in het basis onderwijs ook wel keersommen genoemd. Wie dat goed kan is echt een knappe kop. Aan de basis ervan ligt de kennis van de tafels van 1-10. Ik keek er bepaald van op toen ik een meisje van 8 jaar hoorde jammeren dat de tafels zo moeilijk zijn, en ze begreep “helemaal niks” van de tafel van drie. Niettemin: al mijn controlevragen werden snel en zonder uitzondering correct beantwoord. Is dit nu een afweermechanisme? Zeggen dat iets vreeeeeeeselijk moeilijk is in de hoop het dan niet meer te hoeven doen van de ouders? Ik ben alleen maar een rekenaar, en helaas geen zielkundige. Maar geloven doe ik het niet en ik kan het niet ook. Want wat valt eraan te begrijpen? Ik zie geen andere oplossing dan de tafels gewoonweg uit het hoofd te leren, er is niets aan te begrijpen. Ze vormen de basis van elke vermenigvuldiging.

Bij het vermenigvuldigen maken alle rekenwonders gebruik van de zgn. kruismethode. Ik leerde hem in december 1959 van Wim Klein. En wie schetst mijn verbazing, toen ik in de zomer van 1983, op een camping in Frankrijk, in contact kwam met een oudere heer uit St. Denis. Hij was vertegenwoordiger en al snel werden er enkele dingen uitgerekend. Na het ontvangen van enkele complimenten over mijn snelle rekenen legde ik hem de kruismethode uit en:………..die kende hij ook.

U bent nu natuurlijk zo brandnieuwsgierig geworden dat ik die methode nu wel moet gaan uitleggen.

1 Vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers

Eerst uitleg over de gebruikte symbolen, AO, B2 enz, in de vorm van eenvoudige algebra. Elk getal tot de nulde macht = 1. Als het deeltal en de deler gelijk zijn aan elkaar mag je de exponenten aftrekken: 105 ÷ 10² = 10³. Dus 10¹ ÷ 10¹ = 100 =1. Dus A0 staat voor de eenheden, A1 voor de tientallen, B3 zijn duizendtallen.

Kijkt u naar de volgende pagina, onder 1, voor het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers, onder 1.

Eerste bewerking, het vermenigvuldigen van de eenheden, A0B0, waarmee we de eenheden van het antwoord verkrijgen. 9×7 = 63, 3 opschrijven, 6 transporteren. Meest rechtse cijfer van het antwoord dus 3. Dan het kruis: de vermenigvuldiging van eenheden maal tientallen, B0A1, 7 ×2 = 14 + de 6 van het transport, 20 + B1A0, 3 × 9 = 27, totaal 47, waarvan we de 7 opschrijven en de 4 transporteren. We hebben dus nu de tientallen van het antwoord bepaald, dat er nu uitziet als .. 73. Tenslotte A1B1, de tientallen, die met elkaar vermenigvuldigd ons de honderdtallen van het antwoord opleveren. Nu krijgen we 3 × 2 = 6 + de 4 van het transport, samen 10, waardoor we het eindantwoord van de vermenigvuldiging 29 × 37 bepalen op 1073. Let wel, dit antwoord hebben we verkregen zonder het maken van tussennotities.

De vraag die ik u, vereerde lezer nu vrijmoedig voorleg is deze: “Is dit nu echt moeilijk”? Ik heb eens de weinig vleiende opmerking gehoord: “Je lijkt net een varken, dat al schreeuwt voor het geslagen wordt”. Ik heb zo vaak de opmerking gehoord “Dat kan ik niet”of “dat is veel te moeilijk” nog voordat geprobeerd was het vraagstuk op te lossen.

De vraag komt op “waar komt die kruismethode nu toch vandaan”? Ik heb twee boekjes gedownload “Das Ferrol’sche neue Rechenverfahren”, van Dr.Ferrol, uitgegeven in 1913 en “Geheimnisse der Rechenkünstler” van Dr. Philipp Maennchen, ook uitgegeven in 1913. Beide schrijvers geven aan dat de oorsprong van de kruismethode tot de Indiërs is terug te voeren.

In woorden:
Eenheden ontstaan uitsluitend door het vermenigvuldigen van eenheden maal eenheden.
Tientallen ontstaan door eenheden maal tientallen + tientallen maal eenheden + een eventueel transport van de eenheden.
Honderdtallen ontstaan door eenheden maal honderden + honderden maal eenheden + een eventueel transport van tientallen.
Duizendtallen ontstaan door eenheden maal duizenden + duizenden maal eenheden + tientallen maal honderden + honderden maal tientallen + een eventueel transport van honderden.
Tienduizendtallen: tientallen maal duizenden en duizenden maal tientallen + honderden maal honderden + een eventueel transport van duizenden.
Honderdduizenden: honderden maal duizenden + duizenden maal honderden + een eventueel transport van tienduizenden.
Miljoenen: duizenden maal duizenden +een eventueel transport van honderdduizenden.

2 Vermenigvuldigen van twee getallen van drie cijfers

Onder 2 vindt u de uitwerking van een vermenigvuldiging van twee getallen van drie cijfers met elkaar.

Wie kiezen als eerste getal 293 in formule vorm geschreven als a2a1a0 en 847 geschreven als b2b1b0.

Achtereenvolgens doet u:
7 × 3 = 21, 1 noteren, 2 transporteren, 1e cijfer van het antwoord 1
2(tr) + 4 ×3 = 14 + 9 ×7 = 77, 7 noteren, 7 transporteren, antwoord zo ver nu 71
7 (tr) + 7×2 = 21 + 8 ×3 (24) = 45, + 9 ×4 (36) = 81, 1 noteren, 8 transporteren, antwoord zo ver nu 171
8 (tr) + 2×4 = 16 + 8 × 9 (72) = 88, 8 noteren, 8 transporteren, antwoord zover 8171
8(tr) + 8 ×2 = 24, waardoor het eindantwoord wordt 248171.

Voor de volledigheid wordt nog een vermenigvuldiging van twee getallen van vier cijfers uitgewerkt, waarbij ik direct opmerk dat dit de nodige oefening vraagt, en wat ik niet aanbeveel zonder dat men de vorige bewerkingen goed beheerst.

3 Vermenigvuldigen van twee getallen van vier cijfers

De getallen 2345, in de formule voorgesteld als a3a2a1a0 en – u vermoedde het al- en 6789, voorgesteld als b3b2b1b0. Kijkt u eerst naar de formule en zie hoe de bewerking heel logisch wordt opgebouwd vanaf de eenheden naar de duizenden. Kijkt u ook naar de beschrijving bij “in woorden “.

U doet het volgende:

9 × 5 = 45 , 5 noteren 4 transporteren. Antwoord zo ver 5
4 + 9 × 4 (36) = 40 + 8 × 5 (40) = 80, 0 noteren, 8 transporteren, antwoord zo ver 05
8 + 9 × 3 (27) = 35 + 7× 5 (35) = 70 + 8 × 4 (32) = 102, 2 noteren, 10 transporteren, antwoord zo ver 205
10 + 9 × 2 (18) = 28 + 8 × 3 (24) = 52 + 7 × 4 (28) = 80 + 6 × 5 (30) = 110, 0 noteren, 11 transporteren, antwoord zo ver 0205
11 + 8 × 2 (16) = 27 + 7 × 3 (21) = 48 + 6 × 4 (24) = 72, 2 noteren, 7 transporteren, antwoord zo ver 20205
7 + 7 × 2 (14) = 21 + 6 × 3 (18) = 39, 9 noteren, 3 transporteren, antwoord zo ver 920205
3 + 6 × 2 (12) = 15, eindantwoord 15920205.

Later zal ik nog behandelen hoe we deze uitkomst op juistheid kunnen controleren, bij het zgn. modulo rekenen,

4 De kruismethode en de rekenwonders

Zonder aanspraak te maken op volledigheid: alle rekenwonders bedienen zich van de kruismethode en werken met één cijfer tegelijk, ook als het gaat om vermenigvuldigingen van twee getallen van acht cijfers.

En ik zelf dan? Om te beginnen: toen Wim Klein me de kruismethode bijbracht ried hij me aan met twee cijfers tegelijk te werken, omdat ik alle vermenigvuldigingen van twee cijfers uit het hoofd ken. Toch zie ik geen kans dit voordeel uit te buiten. Bij het onderzoek aan de universiteit van Leipzig bleek ik veruit de snelste te zijn bij de 2 × 2 vermenigvuldigingen, maar zie toch geen kans de hoofdprijs te verwerven. Het meest voor de hand ligt dit: de tijd die ik win met het snellere vermenigvuldigen verlies ik bij het optellen van de grotere getallen.

Ter verduidelijking geef ik aan hoe ik dan 2 getallen van 2 cijfers vermenigvuldig, het eerdere voorbeeld 2345 × 6789.

45 × 89 = 40 05, 05 noteren, 40 transporteren. Antwoord nu 05
89 × 23 = 20 47, + 40 = 20 87 + 67 × 45 (30 15) = 51 02, 02 noteren, 51 transporteren. Antwoord nu 02 05
67 × 23 = 15 41 + 51 = 15 92. Eindantwoord 15 92 02 05.

© A.W.A.P. Bouman

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *