modulorekenen 2

modulorekenen 2

Modulorekenen 2.

Onderstaande tabel is te gebruiken voor modulo 11 rekenen. De gele vakken hebben betrekking op de kwadraten. Voor het vermenigvuldigen van een getal 5(11) met een getal 6(11) vinden we de modulo door vanuit de meest linkse kolom bij 5 naar rechts te gaan en vanuit de bovenste rij vanuit 6 naar beneden. Waar de vakken elkaar snijden staat het antwoord, in dit geval 8(11). Bij kwadraten, bijv. van 5, gaat u vanuit de meest linkse kolom bij 5 naar rechts en vanuit de bovenste rij bij 5 naar omlaag. De vakken snijden elkaar bij 3. 5²= bijgevolg 3(11). De kwadraten zijn geel gemarkeerd. Merkt u ook op dat er sprake is van een spiegel effect: de kwadraten van 1 en 10, 2 en 9, 3 en 8 enz. hebben dezelfde modulo 11.

We zullen ons nu zetten aan een deling waarbij modulo rekenen een belangrijke rol speelt.

99024÷48.
Daar het deeltal 5 cijfers heeft en de deler 2 heeft het antwoord 4 cijfers. Daar 96000< 99024 < 100800 begint het antwoord met 20.

Met opzet zijn deeltal en deler gekozen met machten van 2, waardoor binnen een gegeven honderdtal 4 mogelijkheden openstaan. Immers zowel 13, 38, 63 en 88 × 48 leveren alle een antwoord op eindigend op 24.
In gedachten schrijven we het deeltal als 9 90 24, 2(11). De deler 48 = 4(11). We nemen in de meest linker kolom de 4 en stoppen bij het cijfer 2. Van daaruit gaan we naar boven en vinden in de bovenste rij de 6. We weten nu dat het quotiënt moet zijn 6(11). De eerste twee cijfers van het quotiënt 20 = 9(11). Het totale antwoord is 6(11). Om van 9(11) te komen bij 6(11) rekenen we of -3(11) of 8(11). Van de mogelijkheden 13, 38, 63 en 88 voldoet alleen 63 aan de eis 8(11). Het volledige antwoord op de deling is dus 2063.

We zullen ons nu wagen aan een opgaande kubieke wortel en daarbij het getal 11 te hulp roepen. Gemakshalve zal eerst een tabel gemaakt worden.

Omdat 3 een oneven macht is treedt geen spiegeleffect op, maar het “tegenvoetereffect”. Dit heeft tot aangenaam gevolg dat men voldoende heeft aan de resultaten van 1 t/m 5, de “tegenvoeters laten zich hieruit makkelijk herleiden: wie weet dat 3³=5(11) kan onmiddellijk concluderen dat 8³ moet zijn 6(11).

De middelste kolom is zeer bruikbaar om het eerste cijfer van het antwoord te bepalen.

³√ 283593393, voor het gemak geschreven als 2 83 59 33 93. We gebruiken de cijfers 283 om het eerste cijfer van het antwoord te bepalen. 216<283<343. Dit houdt in dat het eerste cijfer van het antwoord 6 is. Het laatste cijfer van de opgave bepaalt het laatste cijfer van het antwoord. De 3 wil dus zeggen dat het laatste cijfer van het antwoord is 7, antwoord zo ver 6X7.

We gaan nu bepalen de modulo 11 van de opgave. Omdat we zo slim zijn, zien we direct 33 die we bij de optelling kunnen negeren. Wat we natuurlijk ook direct zien is dat 2+59+93=154=0(11). Wat we dan overhouden is 83=6(11). Het grondgetal moet dus zijn 8(11). De 6 staat voor 600, en is dus 6(11). De 7 is 7(11), samen 13= 2(11). We moeten dus een tiental vinden 6(11).

10 is een oneven exponent, waarvoor het ”tegenvoetereffect”op een andere manier opgaat. Voor de duidelijkheid volgt een tabel. 50 =6(11), zodat het eindantwoord van de opgave is 657.
Waarom die aanhankelijkheid aan het getal 11? Wel: 3³, 6³ en 9³ zijn alle 0(9). Dan hoeven we over 27 al helemaal niet meer te praten bij derde machten: (3,6,9,12,15,18,21,24,27)³ zijn alle 0(27).

De aantrekkelijkheid van het getal 11 kan nog worden vergroot door het met 3 te vermenigvuldigen.

Om te beginnen: om deze gegevens zinvol te kunnen gebruiken moet men deze goed in het hoofd hebben zitten, wat, onmiddellijk toegegeven, zeker niet ieders werk is. U ziet dat er geen doublures zijn, zoals wel het geval is met 9 en 27.

Voor de volledigheid: ik “vond de 11 proef uit” toen ik ± 11 jaar was, en heb er later 33 aan toegevoegd, met name voor opgaande derde wortels, vanaf 18 cijfers en meer, en in het bijzonder wanneer de opgave eindigt op het cijfer 5.

 
37 is ook goed zult u zeggen. Ok, dat kan. Maar u zult opkijken van de volgende tabel:

Wat bij 37 opvalt is dat bij de derde macht elke modulo 3× voorkomt, waardoor het getal 37 bij deze exponent als proefgetal onbruikbaar wordt.
Kijkt u naar (1,10,26)³ alle 1(37) of (9, 12,16)³, alle 26(37).Enz

De rekenkundige verklaring is als 1³ = 1(37) en 10³ is ook 1(37) dan is (10²)³ ook 1(37). We stellen ook vast dat 10²= 26(37) .
Zo kunnen we zien dat bijv. (3, 30 en 4)³ alle 27(37)) zijn.

Over het getal 101 is op te merken dat men bij het indelen van het getal het beste vrnl in groepen van twee cijfers moet gaan werken en dan +, – , + , – moet doen. Dit omdat 100= 100(101) of -1(101) en dat 10.000 = 1(101), immers 99×101= 9999.

Het getal 197.459.862.512 = 19 74 59 86 25 12 = 12 – 25 + 86 – 59 + 74 – 19 = 69(101). Het controleren van een vermenigvuldiging mbv het getal 101 lijkt me alleen uitvoerbaar ten koste van grote inspanningen.

Voor de volledigheid testen we de eerder besproken vermenigvuldiging 6541×2879 met als uitkomst 18 83 15 39 een keer met behulp van modulo 101.

We weten dat bij alle getallen van 2 cijfers die vermenigvuldigd worden met 101 we 2× achter elkaar hetzelfde getal krijgen. Dus 65 × 101= 6565. Dan is 6541 101-24 = 77(101). Voor 2879 stellen we vast dat als 2828 = 0(101) dan is 2879 = 51(101). Vervolgens doen we 77×51= 3927 =3939-12= 101-12=89(101).
We tellen nu bij de uitkomst vrnl. En stellen tevreden vast: +39-15+83-18= 89(101).

©A.W.A.P. Bouman

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *